Pavare apeirogonală de ordinul 4

În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 4 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,4}, având patru apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.

Pavare apeirogonală
de ordinul 4
Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic
Descriere
Tippavare uniformă hiperbolică
Configurația vârfului∞4
Simbol Wythoff4 | ∞ 2
2 | ∞ ∞
∞ ∞ | ∞
Simbol Schläfli{∞,4}
r{∞,∞}
t(∞,∞,∞)
t0,1,2,3(∞,∞,∞,∞)
Diagramă Coxeter

Grup de simetrie[∞,4], (*∞42)
[∞,∞], (*∞∞2)
[(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)
(*∞∞∞∞)
Grup de rotație[∞,4]+, (∞42)
[∞,∞]+, (∞∞2)
[(∞,∞,∞)]+, (∞∞∞)
(∞∞∞∞)
Poliedru dualpavare pătrată de ordin infinit
Proprietățitranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe

Simetrie

Pavarea din imaginea din stânga reprezintă liniile de oglindire ale simetriei *2∞. Duala acesteia reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei cu notației orbifold *∞∞∞∞, un domeniu pătrat cu patru vârfuri ideale.

Colorări uniforme
Duala: pavare pătrată de ordin infinit

La fel ca la pavările planului euclidian, există 9 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 4, cu trei colorări uniforme generate de domeniile de reflexie ale grupului triunghiului⁠(d). O a patra poate fi construită dintr-o simetrie pătrată infinită (*∞∞∞∞) cu 4 culori în jurul unui vârf. Colorarea de tip tablă de șah, r{∞,∞}, definește domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,4,4)], (*∞44), de obicei prezentate ca domenii alb-negru ale orientărilor reflectate.

culoarea 1 culoarea 2 culorile 3 și 2 culorile 4, 3 și 2
[∞,4], (*∞42) [∞,∞], (*∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞) (*∞∞∞∞)
{∞,4} r{∞,∞}
= {∞,4}1⁄2		 t0,2(∞,∞,∞)
= r{∞,∞}1⁄2		 t0,1,2,3(∞,∞,∞,∞)
= r{∞,∞}1⁄4 = {∞,4}1⁄8

(1111)
(1212)
(1213)
(1112)
(1234)
(1123)
(1122)
= =
= 		= =

Poliedre și pavări înrudite

Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate și pavări cu patru fețe pe vârf, pornind de la octaedru, cu simbolul Schläfli {n,4} și diagrama Coxeter , cu n mergând până la infinit.

Variante de pavări regulate cu simetria *n42: {n,4}
Sferice Euclidiană Pavări hiperbolice
24 34 44 54 64 74 84 ...∞4
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,4]
{∞,4} t{∞,4} r{∞,4} 2t{∞,4}=t{4,∞} 2r{∞,4}={4,∞} rr{∞,4} tr{∞,4}
Figuri duale
V∞4 V4.∞.∞ V(4.∞)2 V8.8.∞ V4∞ V43.∞ V4.8.∞
Alternări
[1+,∞,4]
(*44∞)		 [∞+,4]
(∞*2)		 [∞,1+,4]
(*2∞2∞)		 [∞,4+]
(4*∞)		 [∞,4,1+]
(*∞∞2)		 [(∞,4,2+)]
(2*2∞)		 [∞,4]+
(∞42)

=
=
h{∞,4} s{∞,4} hr{∞,4} s{4,∞} h{4,∞} hrr{∞,4} s{∞,4}
Duale alternate
V(∞.4)4 V3.(3.∞)2 V(4.∞.4)2 V3.∞.(3.4)2 V∞∞ V∞.44 V3.3.4.3.∞
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞]

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
{∞,∞} t{∞,∞} r{∞,∞} 2t{∞,∞}=t{∞,∞} 2r{∞,∞}={∞,∞} rr{∞,∞} tr{∞,∞}
Pavări duale
V∞∞ V∞.∞.∞ V(∞.∞)2 V∞.∞.∞ V∞∞ V4.∞.4.∞ V4.4.∞
Alternări
[1+,∞,∞]
(*∞∞2)		 [∞+,∞]
(∞*∞)		 [∞,1+,∞]
(*∞∞∞∞)		 [∞,∞+]
(∞*∞)		 [∞,∞,1+]
(*∞∞2)		 [(∞,∞,2+)]
(2*∞∞)		 [∞,∞]+
(2∞∞)
h{∞,∞} s{∞,∞} hr{∞,∞} s{∞,∞} h2{∞,∞} hrr{∞,∞} sr{∞,∞}
Duale alternate
V(∞.∞)∞ V(3.∞)3 V(∞.4)4 V(3.∞)3 V∞∞ V(4.∞.4)2 V3.3.∞.3.∞
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞]
(∞,∞,∞)
h{∞,∞}		 r(∞,∞,∞)
h2{∞,∞}		 (∞,∞,∞)
h{∞,∞}		 r(∞,∞,∞)
h2{∞,∞}		 (∞,∞,∞)
h{∞,∞}		 r(∞,∞,∞)
r{∞,∞}		 t(∞,∞,∞)
t{∞,∞}
Pavări duale
V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞∞ V∞.∞.∞.∞ V∞.∞.∞
Alternări
[(1+,∞,∞,∞)]
(*∞∞∞∞)		 [∞+,∞,∞)]
(∞*∞)		 [∞,1+,∞,∞)]
(*∞∞∞∞)		 [∞,∞+,∞)]
(∞*∞)		 [(∞,∞,∞,1+)]
(*∞∞∞∞)		 [(∞,∞,∞+)]
(∞*∞)		 [∞,∞,∞)]+
(∞∞∞)
Duale alternate
V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V(∞.∞)∞ V(∞.4)4 V3.∞.3.∞.3.∞

Bibliografie
  • en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
  • en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. . ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

Vezi și

Legături externe
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.