Spirală sinusoidală

În geometria algebrică spiralele sinusoidale sunt o familie de curbe definite de ecuația în coordonate polare[1]

r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )

unde $a$ este o constantă diferită de zero, iar $n$ este un număr rațional altul decât 0. Cu o rotație în jurul originii, aceasta poate fi de asemenea scrise

r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).

Termenul de „spirală” este o denumire greșită, deoarece de fapt nu sunt spirale^⁠(d), ci adesea au o formă asemănătoare unei rozete^⁠(d). Multe curbe bine-cunoscute sunt spirale sinusoidale, de exemplu:

Hiperbola echilaterală ( $n = - 2$ )
Dreapta ( $n = - 1$ )
Parabola ( $n = - 1/2$ )
Cubica Tschirnhausen ( $n = - 1/3$ )
Sextica lui Cayley ( $n = 1/3$ )
Cardioida ( $n = 1/2$ )
Cercul ( $n = 1$ )
Lemniscata lui Bernoulli ( $n = 2$ )

Această familie de curbe a fost studiată pentru prima oară de Colin Maclaurin.

Ecuații

Prin derivarea lui

r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )

și eliminarea lui $a$ se obține ecuația diferențială în $r$ și $θ$ :

{\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0

.

Atunci

\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)

care implică faptul că unghiul tangențial polar este

\psi =n\theta \pm \pi /2

și deci unghiul tangențial este

\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2

.

(Semnul de aici este pozitiv dacă $r$ și $cos n θ$ au același semn și negativ în caz contrar.)

Comparând versorul tangent

\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)

,

cu mărimea vectorilor de pe fiecare parte a ecuației de mai sus se obține

{\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta

.

În particular, lungimea unei singure bucle când $n>0$ este:

a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta

Curbura este

{\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta

.

Proprietăți

Inversa unei spirale sinusoidale în raport cu un cerc cu centrul în origine este o altă spirală sinusoidală a cărei valoare a lui $n$ este negativul valorii curbei originale a lui $n$ . De exemplu, inversa lemniscatei lui Bernoulli este o hiperbolă dreptunghiulară.

Isoptica^⁠(d), podara și podara negativă ale unei spirale sinusoidale sunt spirale sinusoidale diferite.

Traiectoria unei particule asupra căreia acționează o forță centrală proporțională cu o putere a lui $r$ este o spirală sinusoidală.

Când $n$ este un număr întreg și punctele $n$ sunt aranjate regulat pe un cerc cu raza $a$ , atunci mulțimea punctelor aranjate astfel încât media geometrică a distanțelor de la punct la $n$ formează o spirală sinusoidală. În acest caz, spirala sinusoidală este o lemniscată polinomială.

Note

Dănuț Zahariea, Limbaje de programare structurata: Aplicații MATLAB, tuiasi.ro, 2017, p. 194, accesat 2023-05-20

Bibliografie

en Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p. 213–214
en "Sinusoidal spiral" at www.2dcurves.com
en "Sinusoidal Spirals" at The MacTutor History of Mathematics
en Eric W. Weisstein, Sinusoidal Spiral la MathWorld.

Legături externe

Materiale media legate de spirală sinusoidală la Wikimedia Commons

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[DZ-1] Dănuț Zahariea, Limbaje de programare structurata: Aplicații MATLAB, tuiasi.ro, 2017, p. 194, accesat 2023-05-20