Cardioidă

Deoarece cardioida este o epicicloidă cu o cuspidă, are ecuațiile parametrice

${\displaystyle x(t)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\cos 2t\right),}$

${\displaystyle y(t)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)}$

unde r este raza cercurilor care generează curba, iar cercul fix are centrul în origine. Vârful se află la coordonatele (r,0).

Ecuația carteziană este:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

unde a este diametrul cercului mobil.

Ecuația polară

${\displaystyle \rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\ }$

descrie o cardioidă de aceeași formă. Este aceeași curbă cu cea dată mai sus, mutată la stânga cu r unități de măsură, astfel încât vârful se află în origine.

Dacă se consideră drept pol punctul de întoarcere al cardioidei, ecuația polară devine:

${\displaystyle \rho =a(1+\cos \theta ).}$

Pentru demonstrație, vezi Demonstrații asupra cardioidei.

Patru grafice reprezentând cardioide orientate în cele patru direcții cardinale, cu ecuațiile polare proprii.

Lungimea cardioidei este ${\displaystyle L=8a.}$

Suprafața unei cardioide cu ecuația polară

${\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )}$

este

${\displaystyle A={3 \over 2}\pi a^{2}}$.

Vezi demonstrație.

• Bara lui Wittgenstein
• microfon - o discuție despre microfoane cardioide

• Hearty Munching despre Cardioide la cut-the-knot
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Acest sit oferă mai multe construcții alternative).
• Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)