Inel ordonat

Inelele ordonate sunt familiare din aritmetică. Câteva exemple sunt numerele întregi, numerele raționale și numerele reale.[2] (Numerele raționale și cele reale formează de fapt corpuri ordonate.) În schimb, numerele complexe nu formează un inel sau un corp ordonat, deoarece nu există o relație de ordine inerentă între elementele 1 și i.

Prin analogie cu numerele reale, despre un element c dintr-un inel ordonat R se spune că este pozitiv dacă 0 < c și negativ dacă c < 0. 0 nu este considerat nici pozitiv, nici negativ.

Mulțimea elementelor pozitive ale unui inel ordonat R este adesea notată cu R₊. O notație alternativă, favorizată în unele discipline, este folosirea notațiilor R₊ pentru mulțimea de elemente nenegative și R₊₊ pentru mulțimea elementelor pozitive.

Dacă ${\displaystyle a}$ este un element al unui inel ordonat R, atunci modulul lui ${\displaystyle a}$, notat cu ${\displaystyle |a|}$, este definit astfel:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{daca }}\ 0\leq a,\\-a,&{\mbox{altfel}}\end{cases}}}$

unde ${\displaystyle -a}$ este elementul opus al lui ${\displaystyle a}$ iar 0 is the elementul neutru față de adunare.

Un inel ordonat discret este un inel ordonat în care nu există niciun element între 0 și 1. Numerele întregi formează un inel ordonat discret, dar numerele raționale nu.

Pentru toate a, b și c din R:

• Dacă a ≤ b și 0 ≤ c, atunci ac ≤ bc.[3] Această proprietate este uneori folosită pentru a defini inele ordonate în loc de a doua proprietate din definiția de mai sus.
• |ab| = |a| |b|.[4]
• Un inel ordonat care nu este trivial este infinit.[5]
• Exact una dintre următoarele propoziții este adevărată: a este pozitiv, −a este pozitiv sau a = 0.[6] Această proprietate rezultă din faptul că inelele ordonate sunt grupuri abeliene total ordonate în raport cu adunarea.
• Într-un inel ordonat, niciun element negativ nu este un pătrat:[7] În primul rând, 0 este pătrat. Acum, dacă a ≠ 0 și a = b², atunci b ≠ 0 și a = (−b)²; deoarece fie b fie −b este pozitiv, a trebuie să fie nenegativ.

Unele note trimit la teoreme verificate formal prin proiectul IsarMathLib.