Relație de ordine totală

O relație binară ${\displaystyle \leq \subseteq A\times A}$ pe o mulțime A este numită ordine totală dacă îndeplinește simultan condițiile:

1. ${\displaystyle \forall x,y\in A}$, dacă ${\displaystyle x\leq y}$ și ${\displaystyle y\leq x}$, atunci ${\displaystyle x=y}$ (antisimetrie)
2. ${\displaystyle \forall x,y,z\in A}$, dacă ${\displaystyle x\leq y}$ și ${\displaystyle y\leq z}$, atunci ${\displaystyle x\leq z}$ (tranzitivitate)
3. ${\displaystyle \forall x,y\in A}$, are loc ${\displaystyle x\leq y}$ sau ${\displaystyle y\leq x}$, (relația este totală)

De notat că, aplicând condiția 3 pentru x=y, rezultă ${\displaystyle \forall x\in A,\,x\leq x}$ (reflexivitatea).

• Relația obișnuită de ordine între numerele naturale este o relație de ordine totală (mai mult, este bună ordonare). Tipul acestei relații se notează cu ω. (Două relații se spune că au același tip dacă sunt izomorfe.)
• Relația obișnuită de ordine între numerele întregi.
• Relația obișnuită de ordine între numerele întregi negative. Tipul acesteia se notează cu ${\displaystyle \omega ^{*}}$
• Relația de ordine între numerele raționale. Aceasta este o ordine densă, în sensul că între oricare două numere raționale distincte există un număr rațional distinct față de acestea. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează η.
• Relația de ordine între numerele reale. Aceasta este o ordine continuă, în sensul că, dacă A și B sunt două mulțimi de numere reale, având proprietatea că ${\displaystyle \forall a\in A,\forall b\in B,a\leq b}$, atunci există un număr real c cu proprietatea că ${\displaystyle \forall a\in A,\forall b\in B,a\leq c\leq b}$. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează λ.

În schimb, următoarele relații de ordine nu sunt totale:

• relația de incluziune între mulțimi
• relația de divizibilitate între numerele naturale

Kazimierz Kuratowski, Introducere în teoria mulțimilor și în topologie. Traducere, Editura Tehnică, București, 1969.