Ya desde la primera versión del diccionario (el de autoridades) del siglo XVIII, se dispone de la siguiente definición de "palmar":
PALMAR. v.a. Voz de la Germanía, que significa dar por fuerza alguna cosa.
Esta acepción, que se mantiene hoy día, quiere decir que "palmar" es el acto de entregar algo sin que puedas hacer nada por evitarlo (por fuerza). Por tanto, el momento de entregar tu vida también es "palmar", o "palmarla" (palmar la vida).
Me imagino el origen de "palmar" como "pon algo en la palma abierta de tu mano para que yo lo pueda coger". A continuación os pongo un ejemplo de uso de este significado original:
Si godas Campanas crio,
el me las auia palmado:
dineros que al Padre deuo
por mi los tiene pagados.
Ni me pilla lo que tengo,
ni me espilla lo que gano:
assi dile a tu señor,
que se monte ya a lo largo.
Y busque otra que le palme,
que ya le he palmado harto:
y no venga por aca,
que le sera mal contado.
Anónimo, "Romances de germanía de varios autores [...]", 1609 (España)