Pues supongo que "en la primera/segunda década del siglo" respectivamente. A partir de ahí ya puedes usar construcciones como "en los años veinte" o "en los (años) setenta".
Tenemos el mismo problema para los años en las edades de las personas. Puedes decir que alguien tiene veintitantos o treinta y tantos años, pero no que tiene "diecitantos" (Ni siquiera en inglés teenager recoge todo el rango de la década).
En español hasta el número dieciséis no empezamos a escribir con el mismo prefijo a los números comprendidos en una misma decena.
Las décadas de que se compone un siglo, se expresan preferentemente utilizando los numerales cardinales que designan cada decena. Debido a la manera en la que formamos los cardinales numerales en español no podemos nombrar los números 1-9 y 10-19 con un prefijo común, a diferencia de la manera en que podemos con los veintitantos, treinta y tantos, etc. (aunque me he columpiado un poco al llamarlo "prefijo", ya que los dieci- y veinti- se escriben con una sola palabra y el resto separado).
Por eso en los numerales sólo tenemos términos para nombrar las decenas a partir de la segunda decena: veinte, treinta, cuarenta... Date cuenta que en tu ejemplo hay una elipsis
Yo nací en (la década de) los años setenta y me casé en (la década de ) los (años) noventa.
y al no poder señalar la decena a la que corresponden esos años no podemos usar la construcción "En (la década de) los (años) sesenta".
Para responder a tu segunda pregunta, lo correcto es "los ochenta" y no "los ochentas", ya que las décadas de que se compone un siglo se expresan utilizando los numerales cardinales que designan cada decena, siempre en singular.