Le prime attestazioni di "aria" nel senso di "melodia" sono effettivamente, secondo il Dizionario storico dell'italiano antico
del Tesoro della Lingua Italiana delle Origini (TLIO), del Trecento:
[1] ? Anonimo Genovese (ed. Contini), a. 1311, 5.17, pag. 722: Se in lor se tem[e] spina / o un poco d'asperor, / la fin mena en gram dozor; / ma in oreja asenina / sona inderno l'eira fina, / ni ge prende alcun amor... || Interpretano così sia Contini che Cocito, Anon. gen., p. 678 e Nicolas, Anon. gen., p. 558: è però possibile si tratti di un'occorrenza di 1.8.
[2] Nicolò de' Rossi, Rime, XIV pi.di. (tosc.-ven.), son. 310.10, pag. 198: Cherendo Amor perfetta melodia; / CO. Cognobbe il suave ayre di custuy...
Da notare che la interpretazione della prima occorrenza è dubbiosa: nel dizionario si afferma che questa "eira" si potrebbe anche intendere come "massa d'aria in movimento".
Tuttavia, questo non è il significato su cui si chiede nella domanda. Secondo il Grande dizionario della lingua italiana, la prima attestazione di "aria" con questo senso
Il componimento in versi che viene cantato
su una data aria
si è riscontrata su una commedia dell'inizio del Seicento di Michelangelo Buonarroti il Giovane (Firenze, 1568 - 1646):
Scherzano, saltano, / e fanno maschere / cantano, suonano / di più sorte arie.