Formula lui Heron

Demonstrația lui Heron

Demonstrația lui Heron se bazează pe cinci propoziții geometrice^[1].

Demonstrație algebrică utilizând teorema lui Pitagora

Următoarea demonstrație este adaptată după Raifaizen.^[2] Prin teorema lui Pitagora se poate scrie egalitatea ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ și ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ după figura din dreapta. Prin scădere rezultă ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$ Această egalitate permite exprimarea lui ${\displaystyle d}$ in funcție de lungimea laturilor triunghiului :

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Înălțimea triunghiului este ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$ Substituind ${\displaystyle d}$ cu formula de mai sus și utilizând identitatea diferenței de pătrate se obține

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$

Acest rezultat utilizat mai departe în expresia ariei unui triunghi pe baza unei înălțimi dă:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$