Simetrie tetraedrică

Simetria chirală sau simetria completă (simetria tetraedrică achirală plus simetria piritoedrică) sunt simetrii punctuale discrete (sau echivalent, simetrii pe sferă). Ele se numără printre grupurile punctuale cristalografice ale sistemului cristalin cubic.

Văzute în proiecție stereografică, laturile hexaedrului tetrakis formează în plan 6 cercuri (sau linii radiale centrale). Fiecare dintre aceste 6 cercuri reprezintă o „oglindire” în simetria tetraedrică. Intersecția acestor cercuri se află în punctele de rotație de ordinele 2 și 3.

T, 332, [3,3]⁺, sau 23, de ordinul 12 – chirală sau simetrie tetraedrică de rotație. Există trei axe de rotație ortogonale cu 2 poziții, cum ar fi simetria diedrică chirală D₂ sau 222, cu în plus patru axe cu 3 poziții, centrate între cele trei direcții ortogonale. Acest grup este izomorf cu A₄, grupul altern de 4 elemente; de fapt, este grupul de permutări parei ale celor patru axe cu 3 poziții: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234). ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Clasele de conjugare^⁠(d) ale T sunt:

• identitatea: e
• 4 × rotație de 120° în sens orar (văzută din vârf): (234), (143), (412), (321)
• 4 × rotație de 120° în sens antiorar (idem)
• 3 × rotație de 180°

Rotațiile cu 180° împreună cu identitatea formează un subgrup normal^⁠(d) de tip Dih₂, cu grup factor de tip Z₃. Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt identitatea, „rotația în sens orar” și „rotația în sens antiorar”, corespunzătoare permutărilor celor trei axe ortogonale cu 2 poziții, conservând orientarea.

A₄ este cel mai mic grup care demonstrează că inversa teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general: având în vedere un grup finit G și un divizor d din |G|, nu există neapărat un subgrup al G de ordinul d: grupul G = A₄ nu are subgrup de ordinul 6. Deși este în general o proprietate pentru grupul abstract, din grupul de izometrie al simetriei tetraedrice chirale se observă că din cauza chiralității subgrupul ar trebui să fie C₆ sau D₃, dar niciunul nu corespunde.

T_d, *332, [3,3] sau 43m, de ordinul 24 – achiral sau simetrie tetraedrică completă, cunoscută și sub numele de grupul triunghiului^⁠(d) (2,3,3). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, dar cu șase plane de oglindire, fiecare prin două axe cu 3 poziții. Axele cu 2 poziții sunt acum S₄ (4). T_d și O sunt izomorfe ca grupuri abstracte: ambele corespund lui S₄, grupul simetric pe 4 obiecte. T_d este reuniunea lui T cu mulțimea obținută prin combinarea fiecărui element al lui O \ T cu inversiune.

Clasele de conjugare ale T_d sunt:

• identitatea
• 8 × rotație de 120° (C₃)
• 3 × rotație de 180° (C₂)
• 6 × reflexie în planul celor două axe de rotație (C_s)
• 6 × reflexie improprie de 90° (S₄)

T_h, 3*2, [4,3⁺] sau m3, de ordinul 24 – simetrie piritoedrică. Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, cu plane de oglindire prin două dintre direcțiile ortogonale. Axele cu 3 poziții sunt acum axe S₆ (3) și există o inversiune față de centru. T_h este izomorf cu T × Z₂: orice element al lui T_h este fie un element al lui T, fie unul combinat cu inversiunea. În afară de aceste două subgrupuri normale, există și un subgrup normal D_2h (cel al unui cuboid), de tipul Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Este produsul direct^⁠(d) al subgrupului normal al lui T (vezi mai sus) cu C_i. Grupul factor este același ca mai sus: de tip Z₃. Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt identitatea, „rotația în sens orar” și „rotația în sens antiorar”, corespunzătoare permutărilor celor trei axe ortogonale cu 2 poziții, conservând orientarea.

Este simetria unui cub cu fiecare față divizată de un segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, astfel încât segmentele fețelor adiacente să nu se întâlnească la laturi. Simetriile corespund permutărilor uniforme ale diagonalelor corpului și aceleași permutări combinate cu inversiunea. De asemenea, este simetria unui piritoedru, care este extrem de asemănătoare cubului descris, fiecare dreptunghi fiind înlocuit cu un pentagon cu o axă de simetrie, cu 4 laturi egale și 1 latură diferită (cea corespunzătoare segmentului de divizare a feței cubului); adică, fețele cubului se umflă la linia de divizare și devin mai înguste acolo. Este un subgrup al grupului complet de simetrie icosaedrică (ca grup de izometrie, nu doar ca grup abstract), cu 4 din cele 10 axe cu 3 poziții.

Clasele de conjugare ale T_h cuprind pe cele ale T, cu două clase de 4 combinate, și fiecare cu inversiunea:

• identitatea
• 8 × rotație de 120° (C₃)
• 3 × rotație de 180° (C₂)
• inversiunea față de centru (S₂)
• 8 × rotație improprie de 60° (S₆)
• 3 × reflexie față de plan (C_s)

Icosaedrul colorat ca tetraedru snub are simetrie chirală.

• Simetrie octaedrică
• Simetrie icosaedrică

• en Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6
• en Norman Johnson (2018), Geometries and Transformations, ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

• en Eric W. Weisstein, Tetrahedral group la MathWorld.