Funcția beta

Fie ${\displaystyle Re(x)>0}$ și ${\displaystyle Re(y)>0}$. Atunci,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}=\mathrm {B} (y,x).}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi \ }$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\pi \ }$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}}\right)=\pi \ {\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,1\right)={\frac {1}{x}}}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,1-x\right)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}}$,

Pentru ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$, avem:

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,n\right)={\frac {(n-1)!}{x(x-1)...(x+n-1)}},n\geq 1}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(m,n\right)={\frac {(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}},m\geq 1,n\geq 1}$.

Integralele Wallis au următoarea formă generală:

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\pi \ /2}(\sin t)^{n}\,dt\ =\int _{0}^{\pi \ /2}(\cos t)^{n}\,dt\;.}$

Ele pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma.

• The gamma and the beta function – TU Delft Arhivat în 29 mai 2015, la Wayback Machine.
• Beta Function – MathWorld