Centru (teoria inelelor)

În algebra abstractă centrul unui inel[1] R este subinel format din elementele x astfel încât $xy = yx$ pentru toate elementele y din R. Este un inel comutativ și este notat cu Z(R). „Z” provine din germană Zentrum, care înseamnă „centru”.

Dacă R este un inel, atunci R este o algebră asociativă^⁠(d) peste centrul său. Reciproc, dacă R este o algebră asociativă peste un subinel comutativ S, atunci S este un subinel al centrului lui R, iar dacă S se întâmplă să fie centrul lui R, atunci algebra R se numește algebră centrală.

Definiție

Fie inelul $(A,+,\cdot \,).$ Se numește centrul inelului $A$ mulțimea[2]

Z(A)=\{x\in A\,\vert \,x\cdot y=y\cdot x\quad \forall y\in A\,\}.

Exemple

Centrul unui inel comutativ R este R însuși.
Centrul unui corp comutativ este un corp.
Centrul unui inel de matrici^⁠(d) (complet) cu elemente dintr-un inel comutativ R este format din R-multiplii scalari ai matricei unitate.[3]
Fie F o extindere de corp a unui corp k, iar R o algebră peste k. Atunci $Z(R \otimes k F) = Z(R) \otimes k F$ .
Centrul unei algebre anvelopante universale^⁠(d) a unei algebre Lie^⁠(d) joacă un rol important în teoria reprezentării algebrelor Lie. De exemplu, un element Casimir^⁠(d) este un element al unui astfel de centru care este folosit pentru a analiza reprezentările algebrei Lie.
Centrul unei algebre simple este un corp.

Note

Aurelian Claudiu Volf, Structuri algebrice și aplicații (curs, p. 69), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-12-03
Vasile Pop, Viorel Lupșor, Matematică: Programa școlară pentru clasele de excelența X-XII, refkol.ro, accesat 2023-12-09
en „vector spaces – A linear operator commuting with all such operators is a scalar multiple of the identity”. Math.stackexchange.com. Accesat în 22 iulie 2017.

Bibliografie

en Bourbaki, Algebra
en Pierce, Richard S. (1982), Associative algebras, Graduate Texts in Mathematics, 88, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90693-5

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[ACV-1] Aurelian Claudiu Volf, Structuri algebrice și aplicații (curs, p. 69), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-12-03

[PL-2] Vasile Pop, Viorel Lupșor, Matematică: Programa școlară pentru clasele de excelența X-XII, refkol.ro, accesat 2023-12-09

[3] „vector spaces – A linear operator commuting with all such operators is a scalar multiple of the identity”. Math.stackexchange.com. Accesat în 22 iulie 2017.