Caveat emptor: não sou etimologista nem lingusta, só um curioso.
Eu tenho uma teoria.
A expressão correr risco existe em todas as linguas latinas que conheço: Corre el riesgo (ES), correre il rischio (IT) e courir le risque (FR) e isso me fez pensar que seu uso tem alguma origem comum, provavelmente no latim. Acontece que se procurarmos por currere periculum, que é o verbo latino para correr, não se encontra a expressão em nenhuma referência on-line. Isso me fez pensar que talvez seja alguma distorção que, com o tempo, se transformou em "correr".
Em PIE há a raiz *ḱers-, que quer dizer correr. Em proto-itálico virou *korzo até que chegou ao latim curro (inf. currere). No latim a palavra foi eventualmente prefixada com in, virando incurro que, assim como em português, significa "ir/correr ao encontro ao". Dessa maneira não é difícil ver uma relação muito próxima (quase cognática) de correr com incorrer.
Agora sim, buscando por livros latinos mais antigos, as expressões incurro (primeira pessoa) / incurrere (infinitivo) periculum são encontradas com alguma frequencia.
Com tudo isso em vista, eu chutaria que houve um intercâmbio no uso da palavra correr com o sentido de incorrer, de modo que o "ir de encontro ao risco" do latim virou "correr (ao) risco" nas linguas latinas.
Mas atenção: Como usei o Google Books para procurar e só vi livros de 1600 e 1700, posso estar correndo o risco (há!) de ter como fonte livros que foram traduzidos ipsi litteris de linguas latinas para o latim. Há que se pesquisar livros mais antigos para validar essa minha teoria.
Já para o inglês eu acredito que é somente uma apropriação do francês. Pode-se ver no Ngram que a expressão run the risk só aparece com mais força em meados do Século XVIII, uma época onde a influência francesa era muito forte. A mesma pesquisa para o francês mostra que essa expressão já era usada pelo menos uns 100 anos antes.
