Die Verwendung des Apostrophs regeln §§ 62, 96 und 97 des amtlichen Regelwerks, die du in deiner Frage bereits mehr oder weniger zusammengefasst hast.
Hier kommen ins Spiel
(§ 96.1) Eigennamen, deren Grundform auf einen s-Laut endet. Sie bekommen im Genitiv den Apostroph, wenn sie nicht einen Artikel, ein Possessivpronomen oder dergleichen bei sich haben.
Also zum Beispiel: Andreas' Würstchenbude, was die Würstchenbude eines Andreas wäre.
(§97) Man kann den Apostroph setzen, wenn Wörter gesprochener Sprache mit Auslassungen bei schriftlicher Wiedergabe undurchsichtig sind.
Also zum Beispiel: Andrea's Würstchenbuden, was die Würstchenbude einer Andrea wäre.
So viel zur offziellen geschriebenen Sprache. Nun kommen wir zur Marke
Die Phrase Pauls Hund ist richtig, wenn Paul aber einen Laden o. Ä. gründet, würde es Paul's Laden heißen, da dort eine Marke etabliert wird
Dieser Satz ist nicht richtig. Es muss nicht Paul's Laden heißen, aber (und nun wird es interessant) Paul kann seinen Laden nennen wie er will.
Pauls Laden
Paul's Laden
pauls laden
pAuL's LaDeN
Das wären alle erlaubte "Marken"-Namen, die er auf sein Schild schreiben könnte. Es ist ihm nicht verboten. Dazu muss er auch nichts beim DPMA anmelden. Er müsste sich zwar vielleicht immer wieder anhören, dass da ein Schreibfehler auf dem Schild steht, aber er weiß es besser, denn vielleicht ist es ja ein Ableger der berühmten "Paul's"-Kette aus Amerika und aus diesem Land kennen wir auch bereits "McDonald’s".
Also, würde der Laden "Wunderland" heißen wäre es Pauls Laden. Würde er ihn "Paul's Laden" nennen, hieße Pauls Laden Paul's Laden.