L'objet désigne la matière à laquelle il chaut, par comparaison avec le sujet qui est la matière de laquelle il est question.
Dans leurs utilisations, la différence entre but et objet est plutôt subtile, j'essaye ici d'illustrer ça avec un ou deux exemples bien choisis.
Une personne peut avoir un but : ce qu'elle espère faire, réaliser, qui est la raison de ses actes.
Elle n'a généralement pas d’objet. Sauf si elle a été créée (c'est à dire, placée dans une situation) dans un but particulier, par d'autres. Dans ce cas, l'objet de cette personne (en tant que moyen) est le but ou la raison de ceux qui l'ont créée ou placée là. De façon plus absolue, lorsqu'elle se trouve seule dans une situation, on peut parler de l'objet de sa présence ou de l'objet de son existence.
De la même façon, l'objet¹ d'une lettre c'est le but (indirectement exprimé) que la personne recherche en l'écrivant — la chose qui lui importe. Mais il est commun d’attribuer transitivement² un but, voire peut-être poétiquement une volonté, à la lettre elle-même, ou à d'autres inanimés…
But et objectif sont eux plutôt similaires, le premier contient une notion de finalité alors que le deuxième indique plus une direction ou un point d'arrivée.
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1. Oui en français les lettres sont généralement intitulées par un objet plutôt que par un sujet. On ne discute pas de quelque chose, on pointe vers de la matière, souvent on demande à ce que quelque chose soit fait…
2. Sens 2 du Wiktionaire.