Au couchant indique d'abord une direction à l'horizon, l'ouest, indépendamment de l'heure de la journée. Le couchant (là où le soleil se couche), parfois appelé aussi ponant, s'oppose au levant (l'est, là où le soleil se lève).
Au coucher indique le moment de la soirée où on se couche.
Certains jours, des nocturnes permettent d’assister au coucher des lions, des girafes et des singes. (Abritel)
Prendre un comprimé au coucher, pendant un mois. (Stack Overflow)
Ce coucher a bien sûr un lien avec celui du soleil, mais il est rarement synchrone avec lui.
Avec Soleil, on parlera le plus souvent de coucher de soleil ou de soleil couchant, très très rarement de couchant de soleil. Je n'ai jamais entendu quelqu'un désigner le coucher de soleil par le substantif couchant mais on en trouve quelques exemples dans la littérature et même dans une réponse sur FSE.