Morfism de grupuri

În matematică, o funcție ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ se numește morfism de grupuri în următoarele condiții: ${\displaystyle G\ {\text{si}}\ G'}$admit fiecare o structură de grup, cu operațiile notate ${\displaystyle \cdot }$ și respectiv ${\displaystyle \circ }$, iar $${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\circ f(y)\quad ,\forall x,y\in G}$$

Proprietăți

1. Dacă e și e' sunt elementele neutre ale lui G si G' atunci f(e)=e'.
2. ${\displaystyle \forall }$ x ${\displaystyle \in }$ G, ${\displaystyle f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}$.
3. θ : G → G', θ(x)=e', x ${\displaystyle \in }$ G este evident morfism de grupuri numit morfismul nul.
4. Compunerea de morfisme de grupuri este tot un morfism de grupuri.
5. 1_G : G → G, 1_G(x) = x, x ${\displaystyle \in }$ G este evident morfism de grupuri numit morfismul identic al grupului G. În plus, dacă f : G → G' este morfism de grupuri atunci au loc: f ∘ 1_G = f și 1_G' ∘ f = f.
6. f este izomorfism de grupuri dacă și numai dacă f este bijectivă.

Izomorfism între grupul multiplicativ al rădăcinilor de ordin cinci ale unității și grupul rotațiilor pentagonului echilateral

Vezi și

Izomorfism