Ecuație de continuitate

În fizică o ecuație de continuitate sau ecuație de transport este o ecuație care descrie transportul unei mărimi. Este un instrument deosebit de simplu și puternic atunci când este aplicat la o mărime care se conservă, dar poate fi generalizat pentru a se aplica oricărei proprietăți extensive. Deoarece masa, energia, impulsul, sarcina electrică și alte mărimi naturale se conservă în condițiile lor adecvate, folosind ecuații de continuitate pot fi descrise o varietate de fenomene fizice.

Masă

În absența unei surse de masă, pentru un volum material ${\displaystyle \tau }$, masa conținută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\tau }^{}\rho \,d\tau =0}$

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix ${\displaystyle \tau *}$, fluxul de masă care traversează suprafața ${\displaystyle \sigma *}$, ce înconjoară volumul ${\displaystyle \tau *}$, trebuie să se regăsească în variația masei volumului de control

${\displaystyle \int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau =\int _{\sigma *}^{}{\rho }{{\overrightarrow {V}}{\overrightarrow {n}}}\,d\sigma }$

sau, ținând seama de relația Gauss-Ostrogradski

${\displaystyle \int _{\tau *}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,d\tau -\int _{\tau *}^{}{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}\,d\tau =0}$

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului ${\displaystyle \tau *}$, se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\nabla (\rho }{{\overrightarrow {V}})}=0}$

care este ecuația de continuitate valabilă în oricare punct al spațiului fluid.

Tetra-curenți

Conservarea unui curent al unui fluid generalizat, care nu este neapărat un fluid de tip curent electromagnetic, este exprimată compact de operatorul divergență al covariantei Lorentz a unui tetra-curent

${\displaystyle J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

unde

c este viteza luminii

ρ este densitatea de sarcină

j este densitatea de curent convențională

a denumește dimensiunea spaţio-temporală

astfel încât

${\displaystyle \partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} }$

atunci

${\displaystyle \partial _{a}J^{a}=0}$

ceea ce conduce la concluzia conservării curentului

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$

Vezi și

• Operatorul ∇
• Lege de conservare
• Echilibrul energetic al apei de suprafață^⁠(d)
• Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)
• Ecuația lui Schrödinger
• Curgere incompresibilă
• Densitate de probabilitate^⁠(d)

Note