Varietate hiperbolică

O n-varietate hiperbolică este o n-varietate riemanniană^⁠(d) completă cu curbura secțională constantă −1.

Orice varietate simplu conexă, completă, cu curbură negativă constantă −1 este izometrică în spațiul hiperbolic real ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Ca rezultat, acoperirea universală a oricărei varietăți închise M cu curbură negativă constantă −1 este ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Astfel, fiecare astfel de M poate fi scrisă ca ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$ unde ${\displaystyle \Gamma }$ este un grup discret de izometrii fără torsiune pe ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Adică ${\displaystyle \Gamma }$ este un subgrup discret al ${\displaystyle SO_{1,n}^{+}\mathbb {R} }$. Varietatea are volum finit dacă și numai dacă ${\displaystyle \Gamma }$ este o rețea (subgrup discret).

Cel mai simplu exemplu de varietate hiperbolica este spațiul hiperbolic, deoarece fiecare punct din spațiul hiperbolic are o vecinătate izometrică cu spațiul hiperbolic.

Un exemplu simplu, netrivial, este un tor cu o singură perforație. Acesta este un exemplu de (Isom(${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$), ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$) -varietate. Acesta poate fi formată luând un dreptunghi ideal în ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ — adică un dreptunghi în care vârfurile sunt pe frontiera de la infinit, prin urmare, nu există în varietatea rezultată — și făcând să fie identice imaginile opuse.

Similar se poate construi sfera cu trei perforații, prezentată alături, prin lipirea a două triunghiuri ideale împreună. Figura arată cum trebuie desenate curbele pe suprafață — linia neagră din diagramă devine o curbă închisă atunci când marginile verzi sunt lipite împreună. Deoarece se lucrează cu o sferă perforată, cercurile colorate din suprafață (inclusiv limitele lor) nu fac parte din suprafață, prin urmare sunt reprezentate în diagramă ca vârfuri ideale.

• en Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolic manifolds and discrete groups, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613
• en Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 219, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, MR 1937957
• en Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (ed. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, MR 2249478