Teorema lui Thales (cerc)

Teorema lui Thales pentru puncte de pe un cerc afirmă că dacă oricare trei puncte $A$ , $B$ și $C$ sunt puncte situate pe un cerc (conciclice) pentru care coarda ${\overline {AC}}$ este diametru, atunci unghiul $\angle {ABC}$ format de punctul B cu punctele diametral opuse este drept.

Demonstrație

Fie $O$ centrul cercului. Întrucât ${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ , triunghiurile $\Delta {OBC}$ și $\Delta {OAB}$ sunt isoscele existând deci perechi de unghiuri congruente
$\angle {OAB}=\angle {OBA}=:\alpha$ și $~~\angle {OBC}=\angle {OCB}=:\beta$ .

Atunci unghiul B se poate scrie ca sumă
${\widehat {B}}=\alpha +\beta ={\widehat {A}}+{\widehat {C}}$

Dublul măsurii unghiurilor egale ale oricăror triunghiuri isoscele formate de raza OB e egal cu unghiurile externe de pe diametrul AC, din suma unghiurilor oricărui triunghi. Unghiurile formate de o parte a diametrului AC de raza OB sunt suplementare, suma lor constituind unghiul alungit, de măsură două unghiuri drepte.

Se obține că unghiurile A și C sunt complementare, așadar unghiul B este suma a două unghiuri complementare.

Teorema reciprocă

„Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului său circumscris.”

Teorema împreună cu teorema reciprocă ei pot fi comasate într-un singur enunț:

„Centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află pe una dintre laturile triunghiului dacă și numai dacă triunghiul este dreptunghic.”

Vezi și

Teorema lui Thales

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.