Teorema lui Napoleon

Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respectiv 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ.

Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor ${\displaystyle \sphericalangle }$ MAN și ${\displaystyle \sphericalangle }$ CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN

Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN.

Același raționament de mai sus se aplică pentru a arăta că LN = ML.

În concluzie MN = LN = ML, deci triunghiul MNL este echilateral.

Se notează ${\displaystyle j=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}$ (rădăcină a unității).

Înzestrând planul complex cu un reper ortonormat fie a, b, c, l, m și n afixele punctelor A, B, C, L, M și N în acest reper.

Prin construcție, A este imaginea lui B prin rotație de centru N și unghi ${\displaystyle \textstyle {+{\frac {2\pi }{3}}}}$, ceea ce se traduce prin :

${\displaystyle (a-n)=j(b-n).}$

La fel:

${\displaystyle (b-l)=j(c-l)\quad {\text{și}}\quad (c-m)=j(a-m).}$

Se deduce:

${\displaystyle (1-j)n=a-jb,\quad (1-j)l=b-jc\quad {\text{și}}\quad (1-j)m=c-ja.}$

Cum însă ${\displaystyle \textstyle {{\frac {1}{j}}+1+j=0}}$ și ${\displaystyle j^{3}=1}$, se obține:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\&=j^{2}a+j^{4}b+j^{3}c\\&=-j^{2}[-a+(1+j)b-jc]\\&=-j^{2}[(b-jc)-(a-jb)]\\&=-j^{2}(1-j)(l-n)\end{aligned}}}$

Împărțind la ${\displaystyle (1-j)}$ rezultă ${\displaystyle (m-n)=-j^{2}(l-n)}$ sau ${\displaystyle \scriptstyle (m-n)=e^{i{\frac {\pi }{3}}}(l-n)}$.

M este imaginea lui L prin rotație de centru N și unghi ${\displaystyle \textstyle {+{\frac {\pi }{3}}}}$ deci ${\displaystyle NLM}$ este un triunghi echilateral.