Teorema cleștelui

Fie (a_n), (b_n), (x_n) trei șiruri cu proprietățile:

• ${\displaystyle a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n},\forall n\geq n_{0};}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a.}$

Atunci șirul (x_n) este convergent și are limita a.

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a,\;b_{n}\rightarrow a,}$ va exista un rang ${\displaystyle n_{\epsilon }\geq n_{0}}$ astfel încât:

${\displaystyle \forall n\geq n_{\epsilon }}$ să fie îndeplinite condițiile: ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\epsilon }$ și ${\displaystyle \left\vert b_{n}-a\right\vert <\epsilon .}$

Din condițiile de mai sus avem: ${\displaystyle -\epsilon <a_{n}-a<\epsilon }$ și ${\displaystyle -\epsilon <b_{n}-a<\epsilon }$.

De aici:

${\displaystyle \forall n\geq n_{\epsilon },\;\;-\epsilon <a_{n}-a\leq x_{n}-a\leq b_{n}-a<\epsilon ,}$

ceea ce arată că:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a.}$

Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\right),k\in \mathbb {N} .}$

Rezolvare

Se notează:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}}$

Se observă că:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\leq a_{n}\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\iff }$

${\displaystyle \iff \;\;{\frac {kn}{n^{2}+kn}}\leq a_{n}\leq {\frac {kn}{n^{2}+1}},\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$

(1)

Deoarece:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{n{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}},}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}=k\;\;}$   și   ${\displaystyle \;\;\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{1}+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k.}$

Prin urmare:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k}$

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=k.}$