Teorema Sylvester (geometrie)

În orice triunghi ${\displaystyle ABC}$ există relația:

${\displaystyle (1)\;\;{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$ (Sylvester)

Demonstrație. Se vor considera mijlocul ${\displaystyle A_{1}}$ al laturii ${\displaystyle BC}$ și ${\displaystyle A'}$ punctul diametral opus lui ${\displaystyle A}$ de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece ${\displaystyle m({\widehat {ABA'}})=90^{o}}$ și ${\displaystyle m({\widehat {ACA'}})=90^{o}}$ (deoarece ${\displaystyle AA'}$ este diametru) și ${\displaystyle BH\perp AC}$ și ${\displaystyle CH\perp AB}$ rezultă că ${\displaystyle A'BHC}$ este paralelogram. Se scriu relațiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

${\displaystyle 2{\overrightarrow {MO}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MA'}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}=2{\overrightarrow {MA_{1}}}={\overrightarrow {MH}}+{\overrightarrow {MA'}}.}$

Se deduce:

${\displaystyle 2{\overrightarrow {MO}}+{\overrightarrow {MH}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MC}}.}$

Punând ${\displaystyle M=O}$ se obține relația cerută.

Observație. O propoziție similară este următoarea:

${\displaystyle 2{\overrightarrow {HO}}={\overrightarrow {HA}}+{\overrightarrow {HB}}+{\overrightarrow {HC}}.\!}$

Aceasta se obține pentru ${\displaystyle M=H.}$

• Legea de inerție a lui Sylvester