Teorema Gram–Euler

În geometrie, teorema Gram–Euler generalizează formula sumei unghiurilor interioare la politopuri cu mai multe dimensiuni.

Afirmație

Fie $P$ un politop convex n-dimensional. Pentru fiecare celulă $E$ , fie $\dim(E)$ dimensiunea sa (0 pentru vârfuri, 1 pentru laturi, 2 pentru fețe etc.), iar $\angle (E)$ unghiul său solid interior, determinat prin alegerea unei (n−1)-sfere suficient de mică, cu centrul într-un punct oarecare din interiorul lui $E$ și se determină suprafața conținută în interiorul lui $P$ . Atunci, ${\textstyle \sum _{E\in \operatorname {Cells} (P)}(-1)^{\dim(E)}\angle (E)=0}$ .[1]

Exemple

Un poligon $P$ cu n laturi, fiecare latură având un unghi intern π, are o singură față (întregul poligon), care are unghiul intern 2π. Fie $A$ suma unghiurilor interne ale colțurilor (0-vârfurilor). Teorema Gram–Euler spune că $A-\pi n+2\pi =0$ , adică $A=\pi (n-2)$ .

Note

en Grünbaum, Branko (2003). Convex Polytopes. Springer. pp. 297–303. ISBN 978-0-387-40409-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Grünbaum, Branko (2003). Convex Polytopes. Springer. pp. 297–303. ISBN 978-0-387-40409-7.