Subtangentă

Fie P = (x, y) un punct pe o curbă dată și A = (x , 0) proiecția sa pe axa Ox. Se desenează tangenta la curbă în P și fie T punctul în care această dreaptă intersectează axa Ox. Atunci segmentul TA este definit ca fiind subtangenta în P[1]. Similar, dacă normala la curbă în P intersectează axa Ox în N, atunci AN se numește subnormala în P.[2] În acest context, lungimile PT și PN se numesc tangenta și normala, dar a nu se confunda cu dreptele tangentă și normală în P.

Fie φ unghiul de înclinare al tangentei în raport cu axa Ox; acesta este cunoscut și sub numele de unghi tangențial. Atunci

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {dy}{dx}}={\frac {AP}{TA}}={\frac {AN}{AP}}.}$

Ca urmare, subtangenta este

${\displaystyle y\cot \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}},}$

iar subnormala este

${\displaystyle y\tan \varphi =y{\frac {dy}{dx}}.}$

Normala este dată de

${\displaystyle y\sec \varphi =y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}},}$

iar tangenta de

${\displaystyle y\csc \varphi ={\frac {y}{\tfrac {dy}{dx}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}.}$

Fie P = (r, θ) un punct pe o curbă dată definit în coordonate polare și fie O originea. Se desenează o dreaptă prin O care este perpendiculară pe OP și fie T punctul în care această dreaptă intersectează tangenta la curbă în P. Similar, fie N punctul în care normala curbei intersectează dreapta. Atunci OT și ON sunt subtangentă polară, respectiv subnormala polară a curbei în P.

Fie ψ unghiul dintre tangentă și raza OP; acesta este cunoscut și sub denumirea de unghi tangențial polar. Atunci

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {r}{\tfrac {dr}{d\theta }}}={\frac {OP}{ON}}={\frac {OT}{OP}}.}$

Astfel că subtangenta polară este

${\displaystyle r\tan \psi ={\frac {r^{2}}{\tfrac {dr}{d\theta }}},}$

iar subnormala polară este

${\displaystyle r\cot \psi ={\frac {dr}{d\theta }}.}$

• en J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 150, 154.
• en B. Williamson "Subtangent and Subnormal" and "Polar Subtangent and Polar Subnormal" in An elementary treatise on the differential calculus (1899) p 215, 223 Internet Archive