Produs vectorial

Fie vectorii  ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}}$  și  ${\displaystyle \varphi \in [0,\pi ]}$  unghiul dintre aceștia dacă  ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}\setminus \{{\vec {0}}\}.}$ 

Dacă vectorii sunt exprimați prin intermediul componentelor scalare înmulțite cu versorii axelor Ox, Oy, Oz

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}},\;\;{\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}},}$

atunci produsul vectorial este definit prin următoarea expresia analitică (în care apar doar produsele componentelor corespunzătoare versorilor diferiți):

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\vec {i}}-(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\vec {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\vec {k}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}};}$ 

Prin definiție pentru vectorii coliniari produsul vectorial are valoarea zero.

Pentru cazul simplificat al vectorilor plani (cu componentele corespunzătoare axei Oz nule) expresia analitică a produsului vectorial indică prezența în acesta doar a unei singure componente scalare nenule, corespunzătoare axei Oz sau echivalent, necoplanaritatea produsului vectorial cu termenii săi. Necoplanaritatea este mai ușor de sesizat în această situație simplificată.

Modulul produsul vectorial în funcție de modulele vectorilor individuali  ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$  este dat de următoarele expresii:

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{cases}\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin \varphi \cdot {\vec {e}},&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;necoliniari\\\;0\;\;,&dac{\breve {a}}\;{\vec {a}}\;{\underset {,}{s}}i\;{\vec {b}}\;sunt\;coliniari\end{cases}}}$

unde  ${\displaystyle {\vec {e}}}$  este un versor perpendicular pe planul determinat de  ${\displaystyle {\vec {a}}}$  și  ${\displaystyle {\vec {b}}}$  având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când  ${\displaystyle {\vec {a}}}$  se rotește către  ${\displaystyle {\vec {b}}}$ .

Produsul vectorial are proprietățile:

• ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}),\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3};}$  (anticomutativitate)

• ${\displaystyle \lambda ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times \lambda {\vec {b}},\;(\forall )\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\vec {a}},{\vec {b}}\in {\mathcal {V}}_{3}.}$

• ${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}},\;(\forall ){\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in {\mathcal {V}}_{3};}$  (distributivitate față de adunarea vectorilor)

• ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}},\;(\forall ){\vec {a}}\in {\mathcal {V}}_{3};}$

• ${\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2};}$  (identitatea lui Lagrange)

Modulul produsului vectorial a doi vectori ${\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}$  este aria paralelogramului construit pe suporturile celor doi vectori  ${\displaystyle {\vec {a}}}$  și  ${\displaystyle {\vec {b}}}$  având același punct de aplicație.

Aria unui triunghi  ${\displaystyle ABC}$  este jumătatea ariei paralelogramului in care poate fi încadrat considerând una din laturile triunghiului o diagonală a paralelogramului și celelalte ca laturi ale paralelogramului:

${\displaystyle A_{\vartriangle ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\|.}$

Se poate folosi și la demonstrarea proprietăților coplanaritate și coliniaritate.

• Produs scalar
• Produs cartezian — produs a două mulțimi.
• × (simbolul)

• en Eric W. Weisstein, Cross Product la MathWorld.
• en Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 Arhivat în 5 septembrie 2015, la Wayback Machine. (it is only possible in 7-D space)
• en Real and Complex Products of Complex Numbers
• en Vector Product Calculator Arhivat în 28 septembrie 2007, la Wayback Machine. Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
• en An interactive tutorial Arhivat în 24 aprilie 2006, la Wayback Machine. created at Syracuse University - (requires java)
• en W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).