Număr pentatopic

Formula pentru al n-lea număr pentatopic este dată de raportul dintre al 4-lea factorial crescător al n și factorial de 4:[3][4]

${\displaystyle P_{n}={\frac {n+3}{4}}T_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$.

unde ${\displaystyle T_{n}}$ reprezintă al n-lea număr tetraedric.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate de coeficienții binomiali:[5]

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

care este numărul de seturi de 4 elemente care pot fi selectate dintre n + 3 elemente.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate ca suma primelor n numere tetraedrice:[2]

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{n},}$

Funcția generatoare pentru numerele pentatopice este[4]

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}$