Mulțimea lui Cantor

Fie, pe mulțimea numerelor reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$, intervalul închis ${\displaystyle [0,1]\,}$. Din acest interval se exclude treimea din mijloc, adică ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$. Rămân intervalele:

${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}$ și ${\displaystyle \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$.

Și din acestea se exclude "treimea centrală", ș.a.m.d.

Astfel e definit șirul de mulțimi:

${\displaystyle A_{0}=[0,1]\,}$

${\displaystyle A_{1}=[0,{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},1]}$

${\displaystyle A_{2}=[0,{\frac {1}{9}}]\cup [{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}]\cup [{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}]\cup [{\frac {8}{9}},1]}$

Atunci mulțimea lui Cantor este:

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ .

Suma lungimilor intervalelor înlăturate din intervalul unitate este:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1}$.

Așadar, mulțimea lui Cantor are următoarele proprietăți:

• Nu are nici un punct de acumulare, deci nu este densă în niciun punct.

• Are măsura Lebesgue nulă.

• Dimensiunea Hausdorff a mulțimii nu este număr întreg, deci mulțimea lui Cantor este un fractal.

• Este echipotentă cu mulțimea numerelor reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Iacob, Caius: Curs de matematici superioare, București, 1957
• Cantor, Georg: On the Power of Perfect Sets of Points, Acta Mathematica 4, 1993. ISBN 0-201-58701-7

• Mulțime densă
• Mulțime

• en Mulțimile lui Cantor la Cut-the-Knot