Matrice pozitiv definită

O matrice pătrată de numere reale se numește pozitiv definită dacă prin înmulțire la stânga și la dreapta cu un același vector nenul se obține o valoare strict pozitivă:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\,,\ x^{\top }\!A\,x>0}$

unde ${\displaystyle x}$ este considerat vector coloană și ${\displaystyle x^{\top }}$ este transpusul lui (ca vector linie).

Dacă A este o matrice pozitiv definită, atunci ${\displaystyle (x,y)\mapsto y^{\top }\!A\,x}$ definește un produs scalar.

O posibilitate de a determina dacă o matrice este pozitiv definită este regula lui Sylvester: se calculează toți determinanții formați din primele linii și primele coloane ale matricii; dacă toți au valoare strict mai mare decât zero atunci matricea este pozitiv definită.

O condiție suficientă pentru ca o matrice A să fie pozitiv definită este să fie simetrică, cu diagonala dominantă și ${\displaystyle a_{ii}>0}$ pentru ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$