Hiperboloid

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tridimensională, descrisă de ecuația:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1

(Hiperboloid cu o pânză),

Nu confundați cu Paraboloid hiperbolic.

Hiperboloid cu o pânză	Suprafață conică	Hiperboloid cu două pânze

respectiv

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1

(Hiperboloid cu două pânze).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptotice la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y cresc,

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici. Dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului $\theta \in [0,2\pi )$ , dar schimbând elevația v în funcțiile hiperbolice.

Hiperboloidul cu o suprafață, $v\in (-\infty ,\infty )$ devine:

x=a\cosh v\cos \theta

y=b\cosh v\sin \theta

z=c\sinh v

Iar hiperboloidul a două suprafețe, $v\in [0,\infty )$ devine:

x=a\sinh v\cos \theta

y=b\sinh v\sin \theta

z=\pm c\cosh v

Ecuații generalizate

Generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

(\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Bibliografie

de Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
en David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
en H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Vezi și

Legături externe

Materiale media legate de Hiperboloid la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Hyperboloid la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Elliptic Hyperboloid la MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.