Hiperbolă unitate

În general, se spune că asimptotele unei curbe converg spre curbă. În geometria algebrică și teoria curbelor algebrice^⁠(d) există o abordare diferită a asimptotelor. Curba este mai întâi interpretată în planul proiectiv^⁠(d) folosind coordonate omogene. Apoi asimptotele sunt drepte care sunt tangente curbei proiective în punctul de la infinit, eludând astfel orice nevoie de un concept de distanță și convergență. Într-un cadru comun ( x, y, z ) sunt coordonate omogene cu dreapta de la infinit determinate de ecuația z = 0. De exemplu, C. G. Gibson a scris:[2]

Pentru hiperbola echilaterală standard ${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$ din ℝ², curba proiectivă corespondentă este ${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$ care intersectează z = 0 în punctele P = (1 : 1 : 0) și Q = (1 : −1 : 0). Ambele puncte P și Q sunt intersecții simple[lower-alpha 1] cu F, cu tangentele x + y = 0, x − y = 0; obținându-se astfel „asimptotele” familiare din geometria elementară.

O modalitate directă de parametrizare a hiperbolei unitate începe cu hiperbola xy = 1 parametrizată cu funcția exponențială: ${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t}).}$

Această hiperbolă este transformată în hiperbolă unitate printr-o transformare liniară având matricea ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\$ :}

${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

Parametrul t este unghiul hiperbolic, care este argumentul funcțiilor hiperbolice.

Ca o anumită conică, hiperbola poate fi parametrizată prin procesul de adăugare a punctelor pe o conică. Următoarea descriere a fost dată de analiștii ruși:

Se pune un punct E pe conică. Se consideră punctele în care dreapta trasată prin E paralel cu AB intersectează conica a doua oară ca fiind suma punctelor A și B.

Pentru hiperbola ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ cu punctul E = (1,0) suma punctelor ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1})}$ și ${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ este punctul ${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$ cu parametrizarea ${\displaystyle x=\cosh \ t}$ și ${\displaystyle y=\sinh \ t}$, această adăugare corespunde adăugării parametrului t.[3]

• en F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN: 0-12-329650-1 .