Grafic semilogaritmic

În știință și inginerie un grafic semilogaritmic are pe o axă o scară logaritmică iar pe cealaltă o scară liniară. Este util pentru datele care prezintă o alură exponențială, unde o variabilă acoperă o gamă largă de valori,[1] sau pentru a mări și vizualiza o dependență care la început părea a fi liniară (o linie dreaptă) este de fapt începutul lent al unei curbe logaritmice care este pe cale să crească, iar schimbările sunt mult mai mari decât se păreau inițial.[1]

Toate ecuațiile de forma $y=\lambda a^{\gamma x}$ dau linii drepte într-un grafic semilogaritmic, deoarece logaritmând ambii membri se obține

\log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .

Aceata este o dreaptă cu panta $\gamma$ și punctul de interceptare (valoarea lui y pentru x = 1) $\log _{a}\lambda$ . Scara logaritmică este de obicei zecimală, ocazional în baza 2:

\log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).

Uneori graficele sunt numite „logaritmic-liniar” dacă scara logaritmică este pe axa y, respectiv „liniar-logaritmic” dacă scara logaritmică este pe axa x. Convenția este ca scara axei verticale să fie enunțată prima.

Ecuații

Ecuația unei drepte într-un grafic liniar-logaritmic, în care abscisa este cea logaritmică (în baza n), va fi

F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,

Ecuația unei drepte într-un grafic logaritmic-liniar, în care ordonata este cea logaritmică (în baza n), va fi

\log _{n}(F(x))=mx+b

F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).

Grafic liniar-logaritmic

Într-un grafic liniar-logaritmic se ia un punct fix (x₀, F₀), unde F₀ este prescurtarea pentru F(x₀), undeva pe linia dreaptă din grafic, și un alt punct, arbitrar (x₁, F₁) din același grafic. Formula pantei este:

m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}

ceea ce duce la

F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})

sau

F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}

ceea ce înseamnă că

F(x)=m\log _{n}(x)+constanta

Cu alte cuvinte, F este proporțional cu logaritmul lui x înmulțit cu panta dreptei graficului său liniar-logaritmic, plus o constantă. Mai exact, o dreaptă pe un grafic liniar-logaritmic care conține punctele (F₀, x₀) și (F₁, x₁) va da funcția:

F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}

Grafic logaritmic-liniar

Într-un grafic logaritmic-liniar se ia un punct fix (x₀, F₀), unde F₀ este prescurtarea pentru F(x₀), undeva pe linia dreaptă din grafic, și un alt punct, arbitrar (x₁, F₁) din același grafic. Formula pantei este:

m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}

ceea ce duce la

\log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0}).

De notat că n^log_n(F₁) = F₁. Prin urmare logaritmii pot fi inversați pentru a obține:

{\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}

sau

F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}

Acest lucru poate fi generalizat pentru orice punct, în loc să fie valabil doar pentru F₁:

F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}

Exemple practice

Diagrama fazelor apei

În fizică și chimie o diagramă a logaritmului presiunii în funcție de temperatură poate fi utilizată pentru a ilustra diferitele faze ale unei substanțe, ca în următorul grafic, pentru apă:

Evoluția „gripei porcine” din 2009

În timp ce 10 este cea mai comună bază, există momente când alte baze sunt mai potrivite, ca în exemplul următor, care ilustrează viteza dublării:

Note

en M. Bourne, Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper, intmath.com, accesat 2021-10-27

Vezi și

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[MB-1] M. Bourne, Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper, intmath.com, accesat 2021-10-27