Criteriul Kummer

Fie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$, o constantă ${\displaystyle \alpha >0}$ și un număr natural ${\displaystyle N}$ așa încât ${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N}$ atunci seria ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ este convergentă, altfel dacă ${\displaystyle c_{n}\leq 0,\forall n\geq N}$ și ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}}$ este divergentă, atunci ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ este divergentă.

Demonstrăm prima parte: ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N\iff a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\geq \alpha a_{n+1},\forall n\geq N}$ unde am ținut cont că ${\displaystyle a_{n+1}>0}$. Din această inegalitate deducem: ${\displaystyle \sum _{n=N}^{N+p-1}(a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1})\geq \alpha \sum _{n=N}^{N+p-1}a_{n+1}\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (a_{N+1}+...+a_{N+p})\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (s_{N+p}-s_{N})}$ unde ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$. Din ultima inegalitate deducem ${\displaystyle s_{N+p}-s_{N}\leq {\frac {1}{\alpha }}(a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p})\leq {\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N}\implies s_{N+p}\leq s_{N}+{\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N},\forall p\in \mathbb {N} ^{*}}$ Acest rezultat arată că ${\displaystyle (s_{n})}$ este un șir mărginit superior iar din faptul că ${\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$ si ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$. deduceam că ${\displaystyle (s_{n})}$ este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că ${\displaystyle (s_{n})}$ este convergent și deci ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă ${\displaystyle c_{n}\leq 0,\forall n\geq N\implies a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\leq 0,\forall n\geq N\iff {\frac {\frac {1}{b_{n+1}}}{\frac {1}{b_{n}}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},\forall n\geq N}$. Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}}$ este divergentă avem că ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ este divergentă.