Atomul de hidrogen

Atomul de hidrogen este atomul hidrogenului, care este cel mai simplu element chimic. Este alcătuit dintr-un nucleu pozitiv compus dintr-un singur proton și un electron ce se mișcă în jurul nucleului pe o orbită închisă.

Mișcarea electronului în atomul de hidrogen (sau hidrogenoid) a fost studiată și cu metodele mecanicii cuantice.

Energia potențială a electronului este:

${\displaystyle U=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}},}$

unde:

• Z= numărul de sarcini elementare din nucleu;
• r = distanța de la electron la nucleu;
• ε₀ = permitivitatea vidului.

Ecuația lui Schrödinger are forma:

${\displaystyle \Delta \Psi +{\frac {8\pi ^{2}m_{0}}{h^{2}}}\left(E+{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\Psi =0,}$

unde:

• m₀ = masa electronului
• h = constanta Planck.

Soluțiile în coordonate sferice sunt:

${\displaystyle \Psi _{nlm}=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{1/2}\cdot \left({\frac {2}{nr_{0}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\frac {1}{2n\pi }}\right)^{1/2}\cdot }$

${\displaystyle \cdot \left[{\frac {(n-l+1)!}{[(n+1)!]^{3}}}\right]^{1/2}\cdot \left[{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {l-|m|!}{l+|m|!}}\right]^{1/2}\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }e^{-{\frac {\rho }{2}}}\rho ^{l}L_{n+l}^{2l+1},}$

în care:

${\displaystyle r_{0}={\frac {h^{2}}{4\pi ^{2}m_{0}e^{2}}}}$

reprezintă raza atomului de hidrogen în stare fundamentală, iar:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {-{\frac {8\pi ^{2}m_{0}E}{h^{2}}}}}}$ și ${\displaystyle L_{n+l}^{2l+1}}$ sunt polinoamele generalizate Laguerre.

P_l^m(cos θ) sunt funcțiile sferice asociate de gradul l și de ordinul m, iar n, l, m sunt numerele cuantice principal, azimutal, respectiv magnetic.

Soluțiile ecuației sunt compatibile cu realitatea fizică numai pentru anumite valori ale energiei E, numite valori proprii, egale cu:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{0}Z^{2}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}n^{2}h^{2}}},}$

deci energia electronului este cuantificată.

Starea normală sau fundamentală a unui atom hidrogenoid corespunde valorilor n=1, l=0, m=0 ale numerelor cuantice. Funcția de undă are valoarea proprie:

${\displaystyle \Psi _{100}={\frac {1}{(\pi r_{0}^{3})^{1/2}}}\cdot e^{-{\frac {r}{r_{0}}}}}$

și energia are valoarea:

${\displaystyle E_{1}=-{\frac {m_{0}Z^{2}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.}$