Teorema lui Jordan

O funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$ dacă și numai dacă ea se reprezintă ca diferența a două funcții crescătoare.

Proprietăți

Pentru orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ , următoarele afirmații sunt echivalente:
1. $f$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$ ;
2. $f=g-h$ , cu $g,h$ strict crescătoare;
3. $f=g-h$ , cu $g,h$ strict crescătoare și pozitive;
4. $f=g-h$ , cu $g,h$ strict descrescătoare și negative;
5. $f=g-h$ , cu $g,h$ strict descrescătoare;
6. $f=g-h$ , cu $g,h$ descrescătoare;
Pentru orice funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ , următoarele afirmații sunt echivalente:
1. $f$ este cu variație mărginită pe $[a,b]$ ;
2. $f$ se reprezintă ca diferența a două funcții monotone de același sens;
3. $f$ se reprezintă ca diferența a două funcții strict monotone de același sens.
Orice funcție cu variație mărginită este o funcție riglată.
Mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ cu variație mărginită este cel mult numărabilă.
Subspațiul vectorial generat de mulțimea funcțiilor monotone este mulțimea funcțiilor cu variație mărginită.
Mulțimea funcțiilor $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ monotone nu este un spațiu vectorial, căci diferența a două funcții monotone nu este neapărat monotonă.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.