Teorema Cayley-Hamilton

În algebra liniară, teorema Cayley-Hamilton (numită astfel după numele matematicienilor Arthur Cayley și William Hamilton) susține că orice matrice pătratică pe un inel comutativ își satisface ecuația caracteristică:

det(A-\lambda I)=0.\!

unde A este o matrice pătratică de ordinul n:

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\!

iar $I_{n}\!$ matricea unitate:

I_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}.\!

Caz particular

Pentru $n=2.$

A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\Rightarrow \;det\;A={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.

A-\lambda I={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-\lambda {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{pmatrix}}.

det\;A-\lambda I=0\;\Leftrightarrow \;{\begin{pmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{pmatrix}}=0\;\Leftrightarrow \;(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=0\Rightarrow

\Rightarrow \;ad-(a+d)\lambda +\lambda ^{2}-bc=0\Rightarrow

\Rightarrow \;\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +ad-bc=0

(polinom caracteristic)

Așadar: A² - Tr(A)*A + det(A)*I2 = O2; unde:

Formula de mai sus este aplicabila doar la matricele din M2, doua linii și două coloane, poate ajuta la găsirea unei reguli in înmulțirea matricelor.

A^{n}-(Tr\;A)\cdot A^{n-1}+...+(det\;A)\cdot I_{n}=O_{n}.\!

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.