Spațiu complet

În analiza matematică, un spațiu metric ${\displaystyle (X,d)}$ se numește complet dacă oricare șir Cauchy este convergent în X.

Intuitiv vorbind, completitudinea înseamnă că „nu lipsesc niciun punct” din spațiu. Spre exemplu, spațiul ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},\,d)}$, prevăzut cu distanța usuală ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, nu este complet pentru că punctul 0 „lipsește” din spațiu: prin urmare, există șiruri Cauchy precum ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ care nu sunt convergente.

Mereu este posibil de a completa un spațiu prin un proces numit completare Cauchy. De pildă, un mod de a construi spațiul ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al numerelor reale este prin completarea Cauchy a spațiului ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ al numerelor raționale.

Noțiunea metrică de completitudine nu trebuie confundată cu noțiunea topologică de închidere.