Principiul Cantor-Dedekind

Pentru orice familie numărabilă de intervale închise ${\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]\!}$ cu ${\displaystyle I_{n+1}\subset I_{n}\!}$ avem că ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}\neq \varnothing .\!}$

Din ${\displaystyle I_{n+1}\subset I_{n}\!}$ se deduc inegalitățile:

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots <b_{m}<\ldots <b_{2}<b_{1},\!}$

deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista ${\displaystyle n_{0},m_{0}\!}$ numere naturale cu ${\displaystyle b_{m0}<a_{n0}\!}$ atunci luând ${\displaystyle k=\max\{n_{0},m_{0}\}\!}$ s-ar obține ${\displaystyle b_{m0}<a_{n0}<a_{k}<b_{k}\!}$ absurd pentru ${\displaystyle m_{0}<k.\!}$

Mulțimea ${\displaystyle A=\{a_{n},\;n\in \mathbb {N} \}\!}$este majorată superior deci există ${\displaystyle \alpha =\sup A.\!}$

Avem că ${\displaystyle \alpha <b_{m},\;\forall m\in \mathbb {N} .\!}$ Într-adevăr, în caz contrar ar exista un ${\displaystyle m_{0}\in \mathbb {N} \!}$ cu ${\displaystyle b_{m0}<\alpha \!}$ și în consecință există și un ${\displaystyle a_{n1}\!}$ cu ${\displaystyle b_{m0}<a_{n1}<\alpha \!}$ ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.

Mulțimea ${\displaystyle B=\{b_{m},\;m\in \mathbb {N} \}\!}$ este minorată inferior deci există ${\displaystyle \beta =\inf B.\!}$ Urmând același raționament rezultă că ${\displaystyle a_{n}<\beta ,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!}$

Se arată prin reducere la absurd că ${\displaystyle \alpha <\beta .\!}$

Dacă ${\displaystyle \beta \leq \alpha \!}$ atunci există ${\displaystyle a_{n}\!}$ cu ${\displaystyle \beta <a_{n}<\alpha \!}$ și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un ${\displaystyle b_{m}\!}$ cu ${\displaystyle \beta <b_{m}<a_{n}\!}$ fapt care conduce tot la o contradicție. Așadar ${\displaystyle \alpha \!}$ și ${\displaystyle \beta \!}$ sunt două numere reale cu proprietatea că ${\displaystyle a_{n}<\alpha <\beta <b_{n}\!}$ pentru orice ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!}$ și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul ${\displaystyle [\alpha ,\beta ].\!}$

Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.

• en Wolfram MathWorld