Ordin (teoria inelelor)

Exemple de ordine:[2]

• Dacă ${\displaystyle A}$ este inelul de matrici^⁠(d) ${\displaystyle M_{n}(K)}$ peste ${\displaystyle K}$, atunci inelul de matrici ${\displaystyle M_{n}(R)}$ peste ${\displaystyle R}$ este un ordin ${\displaystyle R}$ în ${\displaystyle A}$
• Dacă ${\displaystyle R}$ este un domeniu de integritate și ${\displaystyle L}$ o extindere separabilă^⁠(d) finită a lui ${\displaystyle K}$, atunci închiderea întreagă^⁠(d) ${\displaystyle S}$ din ${\displaystyle R}$ în ${\displaystyle L}$ este un ordin ${\displaystyle R}$ în ${\displaystyle L}$.
• Dacă ${\displaystyle a}$ din ${\displaystyle A}$ este un element întreg^⁠(d) peste ${\displaystyle R}$, atunci inelul de polinoame^⁠(d) ${\displaystyle R[a]}$ este un ordin ${\displaystyle R}$ în algebra ${\displaystyle K[a]}$
• Dacă ${\displaystyle A}$ este inelul^⁠(d) ${\displaystyle K[G]}$ al unui grup finit ${\displaystyle G}$, atunci ${\displaystyle R[G]}$ este un ordin ${\displaystyle R}$ pe ${\displaystyle K[G]}$

O proprietate fundamentală a ${\displaystyle R}$-ordinelor este că fiecare element al unui ${\displaystyle R}$-ordin este un element întreg^⁠(d) peste ${\displaystyle R.}$[3]

Dacă închiderea întreagă ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle R}$ în ${\displaystyle A}$ este un ${\displaystyle R}$-ordin, atunci acest rezultat arată că ${\displaystyle S}$ trebuie să fie un ${\displaystyle R}$-ordin maximal în ${\displaystyle A}$. Totuși, această ipoteză nu este întotdeauna satisfăcută: într-adevăr, ${\displaystyle S}$ nu trebuie să fie nici măcar un inel, și chiar dacă ${\displaystyle S}$ este un inel (de exemplu, când ${\displaystyle A}$ este comutativă), atunci ${\displaystyle S}$ nu trebuie să fie o ${\displaystyle R}$-latice.[3]

Exemplul principal este cazul în care ${\displaystyle A}$ este un corp de numere^⁠(d) ${\displaystyle K,}$ iar ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ este inelul său de numere întregi. În teoria algebrică a numerelor^⁠(d) există exemple pentru orice ${\displaystyle K}$, altul decât corpul rațional al subinelelor proprii ale inelului de numere întregi care sunt, de asemenea, ordine. De exemplu, în extinderea corpului ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ a numerelor raționale gaussiene^⁠(d) peste ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, închiderea întreagă a lui ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ este inelul numerelor întregi gaussiene^⁠(d) ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ și deci aceasta este unicul ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-ordin maximal: toate celelalte ordine din ${\displaystyle A}$ sunt conținute în el, de exemplu subinelul numerelor complexe de forma ${\displaystyle a+2bi}$, cu ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle b}$ numere întregi.[4]

• en Pohst, Michael; Zassenhaus, Hans (1989). Algorithmic Algebraic Number Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 30. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001.
• en Reiner, Irving (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.