Inegalitatea lui Minkowski

1) Fie  ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$  Cazul când  ${\displaystyle p=1}$  sau  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}=0}$  fiind evident, se presupune  ${\displaystyle p>1}$  și  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\neq 0.}$  Rezultă:

${\displaystyle |a_{i}+b_{i}|^{p}\leq |a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}.}$

${\displaystyle (3)}$

Însumând după  ${\displaystyle i}$  și folosind inegalitatea lui Hölder pentru  ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}},}$  se obține succesiv:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \sum _{i=1}^{n}|a_{i}||a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}\leq }$

${\displaystyle \leq \left(\sum _{i=1}^{p}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}.}$

Se simplifică prin  ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}}$  și se ține seama că  ${\displaystyle (p-1)q=p,}$  de unde rezultă:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.}$

${\displaystyle (4)}$

Înlocuind  ${\displaystyle 1-{\frac {1}{q}}}$  prin  ${\displaystyle {\frac {1}{p}},}$  se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie  ${\displaystyle 0<p<1.}$  Deoarece  ${\displaystyle a_{i}>0,\;b_{i}>0,\;(\forall )i={\overline {1,n}},}$  inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.