Funcție simetrică

Fiind dată o funcție ${\displaystyle f}$ cu ${\displaystyle n}$ variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui ${\displaystyle f}$ peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale ${\displaystyle f.}$ Singurul caz general în care ${\displaystyle f}$ poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când ${\displaystyle n=2}$ și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci ${\displaystyle f}$ este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

• Fie funcția reală

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$

Prin definiție, o funcție simetrică cu ${\displaystyle n}$ variabile are proprietatea că

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$

În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$

și așa mai departe pentru toate permutările lui ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

• Fie funcția

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$

Dacă ${\displaystyle x}$ și ${\displaystyle y}$ sunt interschimbate, funcția devine

${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$

care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială ${\displaystyle f(x,y).}$

• Fie acum funcția

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$

Dacă ${\displaystyle x}$ și ${\displaystyle y}$ sunt interschimbate, funcția devine

${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$

Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă ${\displaystyle a\neq b,}$ ceea ce o face nesimetrică.

• en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.