Criteriul radicalului (Cauchy)

În matematică, criterul radicalului (Cauchy) se aplică pentru determinarea naturii seriei

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.

Este foarte folositor atunci când se aplică seriilor exponențiale. Acest criteriu a fost creat de Cauchy, de aceea mai este numit și criteriul Cauchy. Criteriul radicalului folosește numărul

C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},

unde "lim sup" înseamnă limită superioară.

Criteriul radicalului spune că:

Dacă C < 1 atunci seria este absolut convergentă.
Dacă C > 1 atunci seria este divergentă.

Daca C = 1, criteriul nu este suficient pentru a dertermina naturii seriei.

Exemplu

Seria $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n^{2}}$ este divergentă deoarece $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e>1.$

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.